Método para estimar las constantes de la ley logarítmica
Resumen

En este documento se presenta un procedimiento para determinar las constantes empíricas de von Kármán ( y de adición ( de la ley de distribución de velocidad logarítmica, y se fundamenta en una estimación global de los valores mínimos de error entre el modelo de la ley logarítmica y los datos de una medición. Para verificar la bondad del método propuesto, se realizó una comparación con otros métodos presentados en la literatura, utilizando los datos de un perfil de velocidad obtenidos en un canal de pendiente variable de sección rectangular, con un velocímetro acústico de efecto Doppler (ADV, Acoustic Doppler Velocimeter). La prueba experimental fue en flujo uniforme con fondo de rugosidad 𝑘s = 0.000535 m y un número de Reynolds 𝑅𝑒 > 36 000. El método propuesto permite estimar de forma simultánea las constantes ( y (, localizando un valor óptimo denominado 𝐸min en un plano bidimensional de estimación de error de las constantes. Los resultados del método propuesto en comparación con otros reportados en la literatura indican una mejora o al menos una estimación similar. Además, se comprobó el ajuste de la ley logarítmica con los valores obtenidos de la prueba experimental en el rango establecido 30 < 𝑦+ < 0.3𝛿+, utilizando los valores calculados de ( y ( con el método propuesto.

Abstract

This paper presents a procedure to determine the empirical constants of von Kármán ( and additive ( of the law of logarithmic velocity distribution, is based on a global estimation of the minimum values of error between the logarithmic law model and the data of a measurement. To verify the goodness of the proposed method, a comparison was made with other methods presented in the literature, using the data of a velocity profile obtained in a variable slope channel of rectangular section, with an Acoustic Doppler Velocimeter (ADV). The experimental test was in uniform flow with bed roughness 𝑘s = 0.000535 m and Reynolds number 𝑅𝑒 > 36 000. The proposed method allows to simultaneously estimate the empirical constants ( and (, locating an optimal value called 𝐸min in a two-dimensional plane of error estimation of the constants. The results of the proposed method compared to others reported in the literature indicate an improvement or at least a similar estimate. In addition, the adjustment of the logarithmic law with the values obtained from the experimental test in the established range 30 < 𝑦+ < 0.3𝛿+ was verified, using the calculated values of ( and ( with the proposed method.

Palabras clave:
    • ley logarítmica;
    • constante de von Kármán;
    • constante de adición;
    • velocimetría acústica Doppler.
Keywords:
    • Logarithmic law;
    • von Kármán constant;
    • additive constant;
    • acoustic Doppler velocimetry.

Introducción

La distribución de velocidades medias en un cauce natural o artificial se considera por simplicidad como un proceso bidimensional que tiene regiones con diferentes características de velocidad en función del tirante (Nezu & Nakagawa, 1993). Estas regiones se evalúan por la relación y / h , donde y es la coordenada vertical y h es la profundidad o tirante del flujo. En la región cercana al fondo 0 y / h 0.2 , la velocidad principal es descrita por la clásica “ley de pared” (Coles, 1956), que se compone de tres zonas: subcapa viscosa, amortiguamiento y logarítmica (Petrie & Diplas, 2016; Spalding, 1961). La existencia de la subcapa viscosa y la zona de amortiguamiento está en función de la rugosidad del fondo, por ejemplo, si el valor de escala de rugosidad adimensional k s + < 5 ( k s + = k s u * / ν , donde k s es la rugosidad absoluta, u * es la velocidad de corte y ν es la viscosidad cinemática), el flujo se considera con fondo hidráulicamente liso y están presentes las tres zonas. Si 5 k s + 70 , el flujo penetra la zona de amortiguamiento y la subcapa viscosa desaparece, considerándose como flujo con fondo incompletamente rugoso. Finalmente, si k s + > 70 , se considera como flujo con fondo completamente rugoso y las dos primeras zonas desaparecen, permaneciendo sólo la zona logarítmica. En el rango 0.2 < y / h 1.0 el perfil de velocidad no sigue una tendencia logarítmica, ya que se tienen dos comportamientos: el denominado fenómeno de inmersión (Bonakdari, Larrarte, Lassabatere, & Joannis, 2008; Yang, 2005) o de estela (Yang, 2009), donde los valores de una medición difieren respecto a los estimados con la “ley logarítmica”, Ecuación (1).

u + = 1 κ ln y + + A

Donde u + = u - / u * es la escala de velocidad adimensional y + = y u * / ν , la escala de longitud adimensional; u - , la velocidad media en dirección principal del flujo; κ , la constante de von Kármán, y A es la constante de adición. Este modelo logarítmico se ha utilizado para caracterizar el campo de velocidad de flujos turbulentos en ríos (Ferro & Baiamonte, 1994; Petrie & Diplas, 2016), canales (Auel, Albayrak, & Boes, 2014; Tominaga & Nezu, 1992) y tuberías (Bailey, Vallikivi, Hultmark, & Smits, 2014; Perry, Hafez, & Chong, 2001).

De acuerdo con Segalini, Örlü y Alfredsson (2013), en los trabajos experimentales que se exponen en la literatura, el rango donde la ley logarítmica reproduce de modo correcto el perfil de velocidad no está completamente definido. Según Segalini et al. (2013), el límite inferior oscila entre 30 y + 300 e incluso hay publicaciones que indican un límite hasta 600 (McKeon, Li, Jiang, Morrison, & Smits, 2004; Zagarola & Smits, 1998); para el límite superior se encuentra alrededor de 0.1 y + / δ + 0.3 ( δ + = δ u * / ν , donde δ denota el espesor de la capa límite); también hay publicaciones que muestran valores hasta 0.75 (Zanoun, Durst, & Nagib, 2003).

Para el uso de la ley logarítmica es necesario estimar los valores de las constantes empíricas κ y A , y existen diferentes métodos para determinarlas en diversas condiciones de flujo, a partir de datos de una medición (Monkewitz, 2017; Segalini et al., 2013; Zanoun et al., 2003). Los parámetros básicos que deben tomarse en cuenta para estimar las constantes son número de Reynolds y Froude (Bailey et al., 2014; Monkewitz, 2017); rugosidad del fondo (Auel et al., 2014), y la relación de aspecto del cauce b / h (en el caso de una sección rectangular, donde b es el ancho del fondo del canal) (Bonakdari et al., 2008).

En este documento se presenta un procedimiento para determinar las constantes empíricas κ y A de la ley logarítmica, y se fundamenta en una estimación global de los valores mínimos de error entre el modelo de la ley logarítmica y los datos de una medición. Además, con el fin de conocer los alcances de este método, se realizó una comparación con otros métodos descritos por Segalini et al. (2013), que son mínimos cuadrados, función de indicador y dispersión κ - A . En el apartado siguiente se describen tales métodos, junto con el propuesto en este trabajo, denominado topología.

La determinación de las constantes empíricas ante diferentes valores de número de Reynolds y Froude, rugosidad del fondo y relación de aspecto permite conocer sus variaciones y, por tanto, es posible utilizar con mayor precisión metodologías para determinar la velocidad de corte mediante el uso de la ley logarítmica, como la expuesta por Mendoza-González y Aguilar-Chávez (2018), donde se asumen valores fijos para κ y A .

Métodos de estimación de las constantes κ y A

Mínimos cuadrados

En el método de mínimos cuadrados se estima la constante de von Kármán con la Ecuación (2) (Segalini et al., 2013).

κ = N   i ln 2 y i + - i ln y i + 2 N   i u i + ln y i + - i u i + i ln y i +           ;           i       1 , ,   N

Donde N es el número de valores de una medición que se consideran dentro del rango de la ley logarítmica e i denota el contador de cada valor. Una vez calculado κ , se procede con la estimación de A mediante la Ecuación (3).

A = 1 N   i u i + - 1 κ ln y i +

Función de indicador

Este método tiene su origen en aplicar la derivada a la escala de velocidad u + respecto a la escala de longitud y + de la ley logarítmica. Entonces, se tiene la siguiente relación, Ecuación (4).

d u + d y + = d d y +   1 κ ln y + + A

Desarrollando la derivada se tiene la Ecuación (5).

d u + d y +   1 κ 1 y +

Finalmente, despejando la inversa de κ , se obtiene la función de indicador, Ecuación (6).

1 κ y + d u + d y +

Para aplicar la ecuación anterior a valores discretos de una medición se utiliza la Ecuación (7).

1 κ 1 N i y i + d u + d y + i

Mediante la Ecuación (7) se calcula κ , mientras que A se determina con la Ecuación (3). Este método también ha sido utilizado para discernir el rango de la región logarítmica. Este procedimiento es expuesto por Zanoun et al. (2003). La dificultad de tal método es determinar la derivada del perfil de velocidad d u + / d y + , que tiene una gran dispersión debido a la incertidumbre inherente de los datos de una medición, siendo mayor en la cercanía de la pared (Segalini et al., 2013). Por lo tanto, para aplicarlo método se recomienda tomar las muestras de velocidad a una distancia constante (Österlund, 1999) y emplear un esquema de diferenciación central de orden superior (Buschmann & Gad-El-Hak, 2003).

Dispersión κ - A [ / s e c t i t l e ]

Este método fue propuesto por Alfredsson, Imayama, Lingwood, Örlü y Segalini (2013), y consiste en un reordenamiento de la ley logarítmica, tal como lo indica la Ecuación (8).

κ A = κ u + - ln y +

Para emplear la Ecuación (8) se propone un rango de M valores de κ , y este rango se divide en j 1 , ,   M valores de evaluación, para los N valores de la región logarítmica. Con ello se obtiene una distancia de error κ A i j para cada valor de κ propuesto, tal distancia se define por la diferencia entre el max κ A i y el min κ A i . El valor óptimo de ajuste para κ , es aquel donde se tiene el min κ A i j . Por último, A se calcula con la Ecuación (3), o bien, a partir de los valores κ A i , con la Ecuación (9).

A = 1 κ N i κ A i

Topología (propuesta)

El método propuesto consiste en un reordenamiento de la ley logarítmica, como se muestra en la Ecuación (10).

u + - 1 κ ln y + - A = 0

En la expresión anterior, los valores de una medición u + y y + deben guiar el resultado a cero; en un caso ideal se podría tener un solo valor de κ y A , para indicar el valor exacto del perfil de velocidades de una medición. En este caso, se propone que existe una pequeña diferencia entre los valores de una medición y el valor de estimación de la Ecuación (10), y se define como error de estimación E i . La forma funcional del error se aplica sobre un espacio paramétrico de los valores de κ y A , por lo que E i : Ω κ , A = κ m i n , κ m a x × A m i n , A m a x , donde Ω κ , A es un espacio métrico para determinar los valores de las constantes del modelo logarítmico. Entonces, por cada valor de una medición se obtiene un valor de error sobre el espacio Ω , tal como se indica en la Ecuación (11).

E i κ , A = u i + - 1 κ ln y i + - A

Con los valores de E i κ , A se obtiene el plano métrico del error, que en teoría se considera continuo; sin embargo, la forma funcional de κ y A no son conocidas, por lo que se considera una evaluación discreta por valores conocidos de éstas. Para obtener una medida escalar de la magnitud del vector de error de estimación E i se aplica alguna norma de Hölder, Ecuación (12). La selección de una norma se discute después.

E = E i κ , A p = i E i κ , A p 1 p           ,           1 p < max   E i κ , A           ,           p =  

Donde es el operador norma y p 1 , indica el número de norma.

De acuerdo con la definición formal de norma vectorial, la Ecuación (12) puede ser cero, si y sólo si E i κ , A = 0 (Bernstein, 2009); esto indicaría un ajuste exacto de la ley logarítmica con los valores u i + de una medición. En la práctica no es posible tal condición y, por tanto, ninguna combinación de valores κ y A permite igualar con cero la Ecuación (12), sin embargo, existe una combinación que minimiza el error de estimación E y genera un ajuste adecuado de la ley logarítmica con un perfil de velocidad medido; entonces se dice que E i κ , A 0 para una combinación de valores de κ y A , en el dominio Ω κ , A .

En forma práctica, para estimar los valores de κ y A que minimizan E , se propone una discretización del espacio del dominio, de modo que se tienen los siguientes vectores: κ j = κ 1 ,   ,   κ M y A l = A 1 ,   ,   A Q , de dimensión M y Q , respectivamente, además M , Q > 0 y M , Q Z . El espaciamiento κ = κ m a x - κ m i n / M y A = A m a x - A m i n / Q pueden ser establecidos en función de la precisión que se requiera en la estimación de κ y A . Para establecer el rango de κ m i n , κ m a x y A m i n , A m a x se utilizan los valores reportados para estas constantes por otros autores, como los mostrados en la Figura 1.

Valores de las constantes de la ley logarítmica obtenidas de varias investigaciones.

Una vez conocido el rango de combinación de los valores κ j y A l , se obtiene una matriz de error E κ j , A l , donde el valor óptimo de κ j y A l es aquel que min E i κ j , A l p .

Prueba experimental

A fin de comparar los métodos de estimación de κ y A , se llevó a cabo una prueba experimental en el canal de agua de pendiente variable del Instituto Mexicano de Tecnología del Agua (IMTA), que tiene geometría rectangular de ancho b = 0.245 m y una longitud L = 5 m (ver Figura 2). La estación experimental cuenta con una bomba de 10 hp que abastece el caudal; un vertedor de aforo calibrado con la norma ISO 1438:2008, y una válvula para la regulación del caudal, entre otras componentes particulares, que permiten condiciones estables para los experimentos.

Estación experimental.

Se implementó la técnica de velocimetría acústica de efecto doppler (ADV, Acoustic Doppler Velocimetry) para la medición de la velocidad del flujo, utilizando un equipo Vectrino Profiler™ de Nortek® (ver Figura 3). El equipo se posicionó a 3.5 m de distancia de la entrada del flujo para evitar defectos en el perfil de velocidad causados por la entrada del flujo o por la salida de éste en caída libre al tanque de recirculación. La frecuencia de muestreo fue de 100 Hz, con un tiempo de almacenamiento t = 60 s. Como parte del experimento se instaló un tapete de lija en el fondo del canal, con rugosidad absoluta k s = 0.000535 m (ver Figura 3). Las características del flujo y el valor de k s dieron como resultado la condición de flujo con fondo incompletamente rugoso (ver Tabla 1).

Fondo de lija y equipo ADV Vectrino Profiler™.

Condiciones experimentales.
Descripción Unidades Valor
Pendiente S m/m 6.380 (10-4)
Ancho de base del canal b m 0.245
Tirante h m 0.156
Relación de aspecto b / h m/m 1.571
Velocidad de corte u * m/s 2.062 (10-2)
Temperatura T °C 30.000
Viscosidad cinemática ν m2/s 8.007 (10-7)
Caudal Q m3/s 1.631 (10-2)
Velocidad media U - = Q / A m/s 0.427
Número de Froude F r = U - / g h (-) 0.345
Número de Reynolds R e = U - R h / ν R h = b h / ( b + 2 h ) , radio hidráulico (-) 36.593 (103)
Rugosidad adimensional k s + (-) 13.777

En el experimento se estableció la condición de flujo uniforme con una pendiente del canal S = 0.000638 (ver Figura 4).

Condición de flujo uniforme en prueba experimental.

La velocidad de corte se calculó con el modelo de Guo y Julien (2005), Ecuación (13).

u * = 4 π tan - 1 exp - π h b + π 4 h b exp - h b g h S 0.5

Donde g es la aceleración de la gravedad; S , la pendiente del fondo (considerando flujo uniforme), y b es el ancho de base del canal. Este modelo contiene un factor de corrección que disminuye el error de estimar directamente la velocidad de corte con el modelo clásico u * = g h S , sobre todo en bajas relaciones de aspecto b / h < 10 .

La posición y de los puntos de medición se obtuvo de forma directa con el equipo ADV, que permite medir la distancia al fondo y ubicar la posición de las celdas de medición. Además, el ADV cuenta con un termistor para medir la temperatura del agua, a partir de la cual se asignó un valor de viscosidad cinemática, considerando las tablas de Wagner y Kretzschmar (2008), que están basadas en la formulación industrial IAPWS-IF97. A manera de resumen, se presenta la Tabla 1 con las condiciones experimentales de la prueba.

Resultados

Los métodos de estimación se aplicaron en el rango 30 < y + < 0.3 δ + de los valores experimentales, donde δ + 1558 (considerando un valor de espesor de capa límite δ = 6.05 cm, que se estimó en función del máximo valor de velocidad del perfil de velocidad). Este rango se plantea de acuerdo con los límites descritos por Segalini et al. (2013), mismos que se mencionan en la introducción de este documento.

En la metodología de análisis topológico se requieren establecer inicialmente los vectores κ j y A l ; en este caso se propone que κ 0.30,0.45 y A 3.40,6.60 , de acuerdo con los rangos de la Figura 1. El espaciamiento κ y A de los valores de cada vector κ j y A l está en función de la precisión que se quiera obtener, como ya se indicó.

En la Figura 5 se muestra la topología de errores obtenida al evaluar la Ecuación (12) con los valores de la prueba experimental, utilizando la norma p = 1 y un espaciamiento κ = A = 0.001 ; los valores de κ y A que mejor ajustan el modelo teórico con los datos experimentales fueron 0.418 y 5.067, respectivamente.

Topología de errores E , para p = 1 y κ = A = 0.001 .

En la Figura 6 se presentan los valores de min E i κ j , A l p para diferentes valores de norma p y de aproximación κ , A .

Valores de E m i n min E i κ j , A l p en función de κ y A para diferentes valores de p .

De acuerdo con el resultado presentado en la Figura 6, a partir de un espaciamiento κ = A = 0.001 , el E m i n se mantiene aproximadamente constante para cualquier valor de norma; esto indica que el aumento en la resolución de los vectores ( κ , A < 0.001 ) no produce una disminución del error.

Para la prueba experimental se determinaron los valores de κ y A por los métodos de mínimos cuadrados, función de indicador, dispersión κ - A y topología. Los resultados se muestran en la Tabla 2. Para el método de topología se utilizó un espaciamiento κ = A = 0.001 ; en el caso del método de dispersión κ - A , se utilizó la misma resolución para el vector de κ j .

Valores de κ y A obtenidos de cada método.
Método κ A
Mínimos cuadrados 0.425 5.308
Función de indicador 0.385 4.114
Dispersión κ - A 0.431 5.469
Topología p = 1 0.418 5.067
p = 2 0.425 5.308
p = 5 0.434 5.557
p = 10 0.434 5.565
p = 50 0.431 5.503
p = 100 0.431 5.503
p = 0.431 5.504

Con el fin de hacer una comparación entre los diferentes métodos se proponen los siguientes criterios de estimación del error: a) error absoluto acumulado ( E a a ) Ecuación (14), y b) error cuadrático acumulado ( E c a ), Ecuación (15), (Wackerly, Mendenhall, & Scheaffer, 2007).

E a a = i u i + e x p e r i m e n t a l - u i + t e ó r i c o

E c a = i u i + e x p e r i m e n t a l - u i + t e ó r i c o 2

En la Figura 7 se presenta la comparación del E a a y E c a en la estimación de las constantes κ y A por los diferentes métodos expuestos en este documento.

Valores de E a a y E c a para cada método de estimación.

De acuerdo con la Figura 7, el método con menor valor de E a a es el de topología con p = 1 , mientras que el menor valor de E c a se obtuvo con el método de mínimos cuadrados y con el de topología con p = 2 . El método de función de indicador contiene los más altos valores de error, esto es generado por el término diferencial de la Ecuación (7), a pesar de que se aplicó una discretización centrada de segundo orden. En el caso del método de dispersión κ - A , sus valores de error no difieren de forma significativa de los valores obtenidos con el método de mínimos cuadrados, sin embargo, en ningún caso de forma de evaluación del error optimiza el ajuste. En el método de topología, si se consideran valores de p > 2 no se optimiza el ajuste en ninguno de los dos casos de evaluación del error.

El perfil adimensional de velocidades medias con los valores de las constantes κ y A obtenidas por el método de topología con la norma p = 1 se presenta en la Figura 8. En este perfil se observa el fenómeno de estela e inmersión para y + > 400 , donde los valores experimentales están por encima y debajo de la ley logarítmica estimada; en esta zona no se aplicaron los criterios de estimación de error.

Perfil adimensional de velocidades medias.

En este trabajo no se analiza la incertidumbre que se puede generar en la estimación de κ y A a causa de la medición de las variables que contiene el modelo logarítmico, como la velocidad media u - , la coordenada vertical y , la viscosidad cinemática ν y la velocidad de corte u * . Parte de este análisis fue desarrollado por Segalini et al. (2013).

Conclusión

El objetivo de este documento fue estimar los valores κ y A del modelo logarítmico a partir de datos experimentales medidos en un canal por los métodos de mínimos cuadrados, función de indicador, dispersión κ - A y topología.

El método propuesto de topología permite estimar de forma simultánea κ y A , ubicando el valor óptimo de E m i n en un plano de estimación de error. De acuerdo con los valores obtenidos de κ y A , y con la evaluación de los errores E a a y E c a , con el método de topología se logran mejores resultados, en comparación con los métodos de función de indicador y dispersión κ - A , y con tendencia similar comparando con el método de mínimos cuadrados utilizando un valor de norma p = 2 . Para el caso de norma p = 1 se tiene una mejor estimación en el método de topología en comparación con mínimos cuadrados, utilizando como criterio E a a .

Además, se comprobó el ajuste de la ley logarítmica con los valores obtenidos de la prueba experimental en el rango 30 < y + < 0.3 δ + , utilizando los valores calculados de κ y A con el método de topología.

Agradecimientos

  • Al Instituto Mexicano de Tecnología del Agua (IMTA) por permitir llevar a cabo la presente investigación dentro de sus instalaciones, al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt) y la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) por los fondos proporcionados para el desarrollo de este trabajo.

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Historial:
  • » Recibido: 21/08/2018
  • » Aceptado: 19/03/2019
  • » : 01/09/2019» : 2019Sep-Oct